基础数学示例

$n^{3} + n^{2} - 1100$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 1100, \pm 2, \pm 550, \pm 4, \pm 275, \pm 5, \pm 220, \pm 10, \pm 110, \pm 11, \pm 100, \pm 20, \pm 55, \pm 22, \pm 50, \pm 25, \pm 44$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 1100, \pm 2, \pm 550, \pm 4, \pm 275, \pm 5, \pm 220, \pm 10, \pm 110, \pm 11, \pm 100, \pm 20, \pm 55, \pm 22, \pm 50, \pm 25, \pm 44$

解题步骤 3

代入 $10$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $10$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $10$ 代入多项式。

$10^{3} + 10^{2} - 1100$

解题步骤 3.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 + 10^{2} - 1100$

解题步骤 3.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$1000 + 100 - 1100$

解题步骤 3.4

将 $1000$ 和 $100$ 相加。

$1100 - 1100$

解题步骤 3.5

从 $1100$ 中减去 $1100$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $10$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $n - 10$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{n^{3} + n^{2} - 1100}{n - 10}$

解题步骤 5

用 $n^{3} + n^{2} - 1100$ 除以 $n - 10$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$n$

$10$

$n^{3}$

$n^{2}$

$0 n$

$1100$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $n^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $n$ 。

					$n^{2}$
	$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			+	$n^{3}$	-	$10 n^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $n^{3} - 10 n^{2}$ 中的所有符号

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $11 n^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $n$ 。

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					+	$11 n^{2}$	-	$110 n$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 n^{2} - 110 n$ 中的所有符号

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $110 n$ 除以除数中的最高阶项 $n$ 。

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							+	$110 n$	-	$1100$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $110 n - 1100$ 中的所有符号

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							-	$110 n$	+	$1100$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							-	$110 n$	+	$1100$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$n^{2} + 11 n + 110$

解题步骤 6

将 $n^{3} + n^{2} - 1100$ 书写为因数的集合。

$(n - 10) (n^{2} + 11 n + 110)$

基础数学 示例

基础数学示例